n次元ポアソン方程式に対するグリーン関数

概要

　\(n\)次元空間\(\left(x_1, \cdots,x_n \right)\)に関して，\(n\)次元ラプラシアンを \(\boldsymbol{\nabla}_n^2 \equiv\partial_1^2 + \cdots \partial_n^2 \ \ (\partial_i \equiv \partial/\partial x_i) \) と置くことにします．\(n\)次元ラプラシアンに対するGreen関数

\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}_n^2 G_n \left( \boldsymbol{x} \right) = -\delta \left( \boldsymbol{x} \right) \tag{1}
\end{align}

の解を求めてみましょう．こうした微分方程式は物理の至るところで出現するため，あらかじめ知っておくと有用です．

結果

　まず，結果から示すことにします．\( n\) 次元空間での距離を\(R \equiv \sqrt{x_1^2 + \cdots x_n^2}\) として，(1) の解は\begin{align}
G_n \left( \boldsymbol{x} \right) =\begin{cases} \dfrac{ \Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right) }{4\pi^{\frac{n}{2}} R^{n-2}} & \left( n\neq 2 \right) \\ -\dfrac{1}{2\pi} \ln R & \left( n = 2 \right) \end{cases} \tag{2}
\end{align}
となります．ここで，Green関数 \( G_n \left( \boldsymbol{x} \right)\) に無限遠で 0 になる境界条件を課しています．空間は3次元のため，以下の \( n=3 \) の場合が使用される場合が特に多いです：
\begin{align}
G_3 \left( \boldsymbol{x} \right) = \dfrac{1}{4\pi R} \tag{3}
\end{align}
ここで，\( \Gamma \left(1/2\right) = \sqrt{\pi} \) を使用しました．

証明

グリーン関数の積分形

　デルタ関数についての恒等式
\begin{align}
\delta\left( \boldsymbol{x} \right) = \left( \dfrac{1}{2\pi}\right)^n \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}}d^n k \tag{4}
\end{align}
を使うと，グリーン関数は形式的に以下のように解くことができます：
\begin{align}
G_n \left( \boldsymbol{x} \right)
&= – \dfrac{1}{\boldsymbol{\nabla}_n^2} \left( \dfrac{1}{2\pi}\right)^n \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}}d^n k \\
&= \left( \dfrac{1}{2\pi}\right)^n \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}}}{k^2} d^n k \tag{5}
\end{align}
ここで，\( \nabla_n^2 \left( i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}\right) = -k^2 \) を使用しています． 次に，少しテクニカルですが，恒等式 \( \frac{1}{k^2} = \int_{0}^{\infty} e^{-k^2 t} dt \) を用いると，式(5) は次のように書き直すことができます：

\begin{align}
G_n \left( \boldsymbol{x} \right)
&= \left( \dfrac{1}{2\pi}\right)^n \int_{0}^{\infty} dt \int_{-\infty}^{\infty} d^n k \ e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x} – k^2 t} \\
&= \left( \dfrac{1}{2\pi}\right)^n \int_{0}^{\infty} dt \ \prod_{j=1}^{n} \left( \int_{-\infty}^{\infty} d k_j \ e^{i k_j x_j – k^2 t} \right) \\
&= \left( \dfrac{1}{2\pi}\right)^n \int_{0}^{\infty} dt \ \prod_{j=1}^{n} \left( \int_{-\infty}^{\infty} d k_j \ \exp \left[ -t\left( k_j – \dfrac{ix_j}{2t} \right)^2 – \dfrac{x_j^2}{4t}\right] \right) \\
&= \left( \dfrac{1}{2\pi}\right)^n \int_{0}^{\infty} dt \ \left( \dfrac{\pi}{t} \right)^{\frac{n}{2}} e^{-\frac{R^2}{4t}} \tag{6}
\end{align}
あとは，この積分を頑張って解くだけです．

\( n \neq 2 \) の場合

　\( n \neq 2 \) の場合には，\(z = \frac{R^2}{4t} \) と積分変数を変換すると，\( dt = -\frac{R^2}{4z^2} dz \)より，式 (6) は

\begin{align}
G_n \left( \boldsymbol{x} \right) &= \left( \dfrac{1}{2\pi}\right)^n \int_{\infty}^{0} \left(- \dfrac{R^2}{4z^2} dz\right) \left( \dfrac{4\pi z}{R^2} \right)^{\frac{n}{2}} e^{-z} \\
&= \dfrac{1}{4 \pi^{\frac{n}{2}} R^{n-2}} \int_{0}^{\infty} dz \ z^{\frac{n}{2}-2} e^{-z} \\
&= \dfrac{ \Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right) }{4\pi^{\frac{n}{2}} R^{n-2}} \tag{7}
\end{align}
とガンマ関数 \( \Gamma \left(x\right)\) で表すことができます．ちなみに，n次元球の体積 \(V_n\) は，\(V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma \left( n/2+1\right)} R^n \) なので，より簡潔には
\begin{align}
G_n \left( \boldsymbol{x} \right) = \dfrac{R^2}{2\left(n-2\right) V_n} \tag{8}
\end{align}
と表すことができます．

\( n = 2 \) の場合

　次に，\( n=2 \) の場合を考えます．式(6) は，\(s = \frac{1}{4t}\) と積分変数を変換すると，\(ds = – \frac{t}{s}ds\) より，
\begin{align}
G_2 \left( \boldsymbol{x} \right)
&= \dfrac{1}{4\pi} \int_{0}^{\infty} dt \ \dfrac{1}{t} e^{-\frac{R^2}{4t}} \\
&= \dfrac{1}{4\pi} \int_{0}^{\infty} ds \ \dfrac{1}{s} e^{-R^2s} \tag{9}
\end{align}
と変形できます．よって，
\begin{align}
& \dfrac{\partial G_2 \left( \boldsymbol{x} \right) }{\partial (R^2)} = -\dfrac{1}{4\pi} \int_{0}^{\infty} ds \ e^{-R^2s} = -\dfrac{1}{4\pi R^2} \tag{10}
\end{align}
これを \( R^2 \) について積分をすることで，グリーン関数 \( G_2 \left( \boldsymbol{x} \right)\) が

\begin{align}
G_2 \left( \boldsymbol{x} \right) = -\dfrac{1}{4\pi} \ln R^2 = -\dfrac{1}{2\pi} \ln R \tag{11}
\end{align}
と導けました．