リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル

概要

　リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル (Liénard–Wiechert potential) は，運動する点電荷が形成する電磁場をローレンツゲージの下での電磁場ポテンシャル（スカラーポテンシャル \(\phi\) とベクトルポテンシャル \(\boldsymbol{A}\) ）によって記述したものです．マクスウェル方程式から導かれる遅延ポテンシャルから導くことができ，点電荷が光速度に近い特殊相対論の効くような速度で運動する場合にも成り立つ一般的な式になっています．歴史的には，1900年前後に Alfred-Marie Liénardと Emil Wiechertによって独立に発展して見出された式ということで，彼らの名前にちなんで名付けられています．

ここでは，点電荷 \(e\) の位置を \(\boldsymbol{x}\left(t\right)\)，速度を \( \dot{\boldsymbol{x}} \left(t\right) \) として，地点 \(\boldsymbol{r}\) で観測される電磁場ポテンシャルが
\begin{align}
&\phi\left(t, \boldsymbol{r} \right) = \dfrac{e}{4\pi \varepsilon_0} \left[\dfrac{1}{R \left(1 -\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \right)} \right]_{t=t_\text{ret}} , \tag{1} \\
& \boldsymbol{A} \left(t, \boldsymbol{r} \right) = \dfrac{\mu_0 c e}{4\pi } \left[\dfrac{\boldsymbol{\beta}}{R \left(1 – \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \right)} \right]_{t=t_\text{ret}} \tag{2}
\end{align}
と表されることを示していきます．ここで，\( \boldsymbol{R}\) や \( \boldsymbol{\beta}\) は \( \boldsymbol{R} (t) \equiv \boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\left(t \right)\)，\(R\equiv \left|\boldsymbol{R}\right|\)，\(\boldsymbol{n} \equiv \frac{\boldsymbol{R}}{R} \)，\( \boldsymbol{\beta} (t) \equiv\frac{\dot{\boldsymbol{x}} (t) }{c} \) と定義される量です．また，\( t_{\text{ret}} \equiv t – \frac{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\left(t’\right)\right|}{c} \) は遅延時間 (retarded time) と呼ばれており，電磁波が放射された地点から観測地点まで伝播し始めた時間を表しています．

　また，ここでは詳細な計算は省きますが，電場 \(\boldsymbol{E}\) と磁場 \(\boldsymbol{B}\) は
\begin{align}
&\boldsymbol{E} \left(t, \boldsymbol{r} \right)
= \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \dfrac{\boldsymbol{n} – \boldsymbol{\beta}}{\gamma^2 R^2 \left( 1 – \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \right)^3} \right]_{t=t_\text{ret}} +\dfrac{\mu_0 q}{4\pi }\left[ \dfrac{\boldsymbol{n} \times \left( \left( \boldsymbol{n} – \boldsymbol{\beta} \right) \times \dot{\boldsymbol{v}} \right) }{ R \left( 1 – \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \right)^3}\right]_{t=t_\text{ret}} , \tag{3} \\
&\boldsymbol{B} \left(t, \boldsymbol{r} \right) = \dfrac{\boldsymbol{n}}{c} \times \boldsymbol{E} \left(t, \boldsymbol{r} \right) \tag{4}
\end{align}
となります．\(\gamma\) はローレンツ因子で \( \gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-\left|\boldsymbol{\beta} \right|^2}}\) と定義されます．

リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャルの導出

電荷密度と電流密度

　まず，電磁場の源となる電荷密度と電流密度の表現を求めます．今，電荷 \(e\) を持つ点電荷が速度 \( \dot{\boldsymbol{x}} \left(t\right) \) で動く状況を考えているため，それぞれ
\begin{align}
&\rho \left(t, \boldsymbol{r}\right) = e \delta \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x}\left(t\right) \right), \tag{5} \\
&\boldsymbol{j} \left(t, \boldsymbol{r}\right) = e \dot{\boldsymbol{x}} \left(t\right) \delta \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x}\left(t\right) \right) \tag{6}
\end{align}
と表すことができます（実際に，電荷密度 \(\rho \left(t, \boldsymbol{r}\right)\) を全空間で積分をするとデルタ関数の性質より (5) は電荷 \(e\) と一致します．具体的には \( \int_{-\infty}^{\infty} e \delta \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x}\left(t\right) \right) d^3 \boldsymbol{r} = e \) ）．

遅延ポテンシャルの書き換え

　次に，スカラーポテンシャル \(\phi\) を，遅延ポテンシャルに電荷密度の具体的な式である (5) 式を代入することで書き換えていきます．
\begin{align}
\phi\left(t,\boldsymbol{r}\right)
&= \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int d\boldsymbol{r}’ \dfrac{\rho\left(t-\frac{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}’\right|}{c},\boldsymbol{r}’\right)}{\left|\boldsymbol{r}- \boldsymbol{r}’\right|} \\
&= \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int d\boldsymbol{r}’ \int dt’ \dfrac{\rho\left(t’,\boldsymbol{r}’\right)}{\left|\boldsymbol{r}- \boldsymbol{r}’\right|} \delta \left(t’- t + \frac{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}’\right|}{c}\right) \\
&= \dfrac{e}{4\pi\varepsilon_0}\int d\boldsymbol{r}’ \int dt’ \dfrac{\delta \left( \boldsymbol{r}’ – \boldsymbol{x}\left(t’\right) \right)}{\left|\boldsymbol{r}- \boldsymbol{r}’\right|} \delta \left(t’- t + \frac{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}’\right|}{c}\right) \\
&= \dfrac{e}{4\pi\varepsilon_0}\int dt’ \dfrac{1}{\left|\boldsymbol{r}- \boldsymbol{x}\left(t’\right) \right|} \delta \left(t’- t + \frac{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\left(t’\right)\right|}{c}\right) \tag{7}
\end{align}
2行目から3行目にかけて \(\rho\) の (5)式 を代入しています．また，3行目から4行目にかけて \(\boldsymbol{r}’\) について積分しています．

デルタ関数

　次に，(7) 式の形を踏まえて，以下のデルタ関数の積分を考えます：
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty} g\left(t’\right) \delta\left(f\left(t’\right)\right) dt’, \tag{8}\\
& g\left(t’\right) = \dfrac{1}{\left|\boldsymbol{r}- \boldsymbol{x}\left(t’\right) \right|}, \tag{9} \\
& f\left(t’\right) = t’- t_{\text{ret}}, \tag{10} \\
&t_{\text{ret}} = t – \frac{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\left(t’\right)\right|}{c} \tag{11}
\end{align}
(11) 式の \( t_{\text{ret}} \) は，遅延時間 (retarded time) と呼ばれており，電磁波が放射された地点から観測地点まで伝播し始めた時間に対応しています．次に，(8) 式を変数変換 \(y=f\left(t’\right)\) を行って積分を実行します ( \(y=f\left(t’\right)\) の逆関数を \(h\left(y\right)\) と置いています)．
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} g\left(t’\right) \delta\left(f\left(t’\right)\right) dt’
&= \int_{-\infty}^{\infty} g\left(h\left(y\right)\right) \delta\left(y\right) \dfrac{dt’}{dy} dy \\
&= g\left(h\left(0\right)\right) \left(\dfrac{dt’}{dy} \right)_{y=0} \\
&= g\left(t_{\text{ret}}\right) \left(\dfrac{df\left(t’\right)}{dt’} \right)^{-1}_{t’=t_{\text{ret}}} \tag{12}
\end{align}
1行目から2行目にかけて \( f\left(t_{\text{ret}}\right) = 0\)，2行目から3行目にかけては \(t_{\text{ret}} = h\left(0\right) \) と \( \frac{dt’}{dy} = \left(\frac{dy}{dt’}\right)^{-1} =\left( \frac{df(t)}{dt’} \right)^{-1} \) を利用しました．この \( \frac{df(t)}{dt’} \) は次のように計算ができます：
\begin{align}
\dfrac{df\left(t’\right)}{dt’}
&= 1 + \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t’} \left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\left(t’\right)\right|\\
&= 1 – \dfrac{1}{c} \dfrac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\left(t’\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\left(t’\right)\right|} \cdot \dfrac{ d\boldsymbol{x} \left(t’\right) }{dt’}\\
&= 1 – \dfrac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\left(t’\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\left(t’\right)\right|} \cdot\dfrac{\dot{\boldsymbol{x}} (t’) }{c} \tag{13}
\end{align}
\(t’=t_{\text{ret}}\) では，
\begin{align}
\left(\dfrac{df\left(t’\right)}{dt’} \right)_{t’=t_{\text{ret}}}
&= 1 – \dfrac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\left(t_{\text{ret}}\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\left(t_{\text{ret}}\right)\right|} \cdot \dfrac{\dot{\boldsymbol{x}} (t_{\text{ret}}) }{c} \\
&= 1 – \boldsymbol{n} (t_{\text{ret}}) \cdot \boldsymbol{\beta (t_{\text{ret}}) } \tag{14}
\end{align}
ここで，\( \boldsymbol{R} (t) \equiv \boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\left(t \right)\)，\(R\equiv \left|\boldsymbol{R}\right|\)，\(\boldsymbol{n} \equiv \frac{\boldsymbol{R}}{R} \)，\( \boldsymbol{\beta} (t) \equiv\frac{\dot{\boldsymbol{x}} (t) }{c} \) を導入しました．

最終形

したがって，(8) – (11) 式と (14) 式を (7) 式に代入することで
\begin{align}
\phi\left(t, \boldsymbol{r} \right) = \dfrac{e}{4\pi \varepsilon_0} \left[\dfrac{1}{R \left(1 -\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \right)} \right]_{t=t_\text{ret}} \tag{15}
\end{align}
が得られました．ベクトルポテンシャルもまったく同様にして
\begin{align}
\boldsymbol{A} \left(t, \boldsymbol{r} \right) = \dfrac{\mu_0 c e}{4\pi } \left[\dfrac{\boldsymbol{\beta}}{R \left(1 – \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta} \right)} \right]_{t=t_\text{ret}} \tag{16}
\end{align}
と得られます．