ファインマン・パラメータ積分公式

概要

　ここでは，場の量子論の繰り込み計算の際に必須となる一般化されたファインマン・パラメータ積分の公式
\begin{align}
\dfrac{1}{A_1^{\alpha_1} \cdots A_N^{\alpha_N}}
= \dfrac{\varGamma \left(\alpha_1 + \cdots + \alpha_N \right)}{\varGamma \left( \alpha_1 \right) \cdots \varGamma \left( \alpha_N \right) } \int_{0}^{1} dx_1 \cdots dx_N \delta \left( 1 – \sum_{j=1}^{N} x_j \right) \dfrac{x_1^{\alpha_1-1} \cdots x_N^{\alpha_N – 1}}{\left[ A_1 x_1 + \cdots + A_N x_N \right]^{\alpha_1 + \cdots + \alpha_N}}
\end{align}
を証明していきます．

導出

　\(\Gamma\) 関数の定義 \(\displaystyle \varGamma (x) = \int_{0}^{\infty} dt \ t^{x-1} e^{-t} \)より、
\begin{align}
\dfrac{\varGamma (n)}{A^{n}} = \int_{0}^{\infty} dt \ t^{n-1} e^{-At} \tag{1}
\end{align}
が成立します．これより，
\begin{align}
\dfrac{\varGamma \left( \alpha_1 \right) \cdots \varGamma \left( \alpha_N \right) }{A_1^{\alpha_1} \cdots A_N^{\alpha_N}}
&= \left( \int_{0}^{\infty} dt_1 \ t_1^{\alpha 1 -1 } e^{-A_1 t_1} \right) \times \cdots \times \left( \int_{0}^{\infty} dt_N \ t_N^{\alpha N -1 } e^{-A_N t_N} \right) \\
&= \int_{0}^{\infty} dt_1 \cdots dt_N \ \left[\prod_{j=1}^{N} t_j^{\alpha_j-1} \right] \exp\left(-\sum_{j=1}^{N}A_jt_j\right) \ \tag{2}
\end{align}
が成り立ちます．ここで，\(t_1 > 0 , \ \cdots, \ t_N>0\) の場合に成り立つ恒等式
\begin{align}
1 = \int_{0}^{\infty} ds \ \delta\left( s – \sum_{j=1}^{N} t_j \right) \tag{3}
\end{align}
を積分中に挿入し，\(t_j = sx_j\) と変数変換をすると，
\begin{align}
(2)
&= \int_{0}^{\infty} dt_1 \cdots dt_N \int_{0}^{\infty} ds \ \delta\left( s – \sum_{j=1}^{N} t_j \right) \left[\prod_{j=1}^{N} t_j^{\alpha_j-1} \right] \exp\left(-\sum_{j=1}^{N}A_jt_j\right) \\
&= \int_{0}^{\infty} dx_1 \cdots dx_N \ \int_{0}^{\infty} ds \ s^{N} \delta\left( s – \sum_{j=1}^{N} sx_j \right) \left[\prod_{j=1}^{N} \left(sx_j \right)^{\alpha_j-1} \right] \exp\left(-\sum_{j=1}^{N}A_jx_j s\right) \\
&= \int_{0}^{\infty} dx_1 \cdots dx_N \ \int_{0}^{\infty} ds \ s^{N-1} \delta\left( 1 – \sum_{j=1}^{N} x_j \right) \left[\prod_{j=1}^{N} \left(x_j ^{\alpha_j-1}\right) \right] s^{\alpha_1 + \cdots + \alpha_N – N} \exp\left(-\sum_{j=1}^{N}A_jx_j s\right) \\
&= \int_{0}^{\infty} dx_1 \cdots dx_N \ \delta\left( 1 – \sum_{j=1}^{N} x_j \right)\left[\prod_{j=1}^{N} \left(x_j ^{\alpha_j-1}\right) \right] \times \int_{0}^{\infty} ds \ s^{\alpha_1 + \cdots + \alpha_N – 1} \exp\left(-\sum_{j=1}^{N}A_jx_j s\right) \tag{4}
\end{align}
となります．ここで，\(x_1 + \cdots + x_N = 1, \ x_j \geq 0 \ \ (j = 1, \ 2, \ 3 , \ \cdots)\) のとき，\(0 \leq x_j \leq 1 \ \ (j = 1, \ 2, \ 3 , \ \cdots) \)であることに注意すると，
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} dx_1 \cdots dx_N \ \delta\left( 1 – \sum_{j=1}^{N} x_j \right)\left[\prod_{j=1}^{N} \left(x_j ^{\alpha_j-1}\right) \right] = \int_{0}^{1} dx_1 \cdots dx_N \ \delta\left( 1 – \sum_{j=1}^{N} x_j \right)\left[\prod_{j=1}^{N} \left(x_j \right)^{\alpha_j-1} \right] \tag{5}
\end{align}
が成立します．また，\(\Gamma\) 関数の定義より，
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} ds \ s^{\alpha_1 + \cdots + \alpha_N – 1} \exp\left(-\sum_{j=1}^{N}A_jx_j s\right) = \dfrac{\varGamma \left(\alpha_1 + \cdots + \alpha_N \right) }{\left[ A_1 x_1 + \cdots + A_N x_N \right]^{\alpha_1 + \cdots + \alpha_N}} \tag{6}
\end{align}
です．以上より．
\begin{align} (4) = \int_{0}^{1} dx_1 \cdots dx_N \ \delta\left( 1 – \sum_{j=1}^{N} x_j \right)\left[\prod_{j=1}^{N} \left(x_j^{\alpha_j-1} \right) \right]\dfrac{\varGamma \left(\alpha_1 + \cdots + \alpha_N \right) }{\left[ A_1 x_1 + \cdots + A_N x_N \right]^{\alpha_1 + \cdots + \alpha_N}}
\end{align}
となり，一般化されたFeynmanパラメータ積分公式が示されました．