概要
前記事のおさらい
前の記事では,マクスウェル方程式
\begin{align} &\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}, \tag{1}\\ &\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{B} = 0, \tag{2}\\ &\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j} + \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}, \tag{3}\\ &\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{E} = -\dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \tag{4} \end{align}
に対して,電磁場テンソル
\begin{align} F^{\mu\nu} = \partial^{\mu} A^{\nu} – \partial^{\nu} A^{\mu} \tag{5} \end{align}
を導入することで,(1) 式と (3) 式が
\begin{align} \partial_{\nu} F^{\mu\nu} = \mu_0 j^{\mu} \tag{6} \end{align}
に帰着することを導きました.
双対テンソル
(2) 式と (4) 式は,電磁場テンソルの導出から自動的に満たされているはずですが,ここでは,(2) 式と (4) 式を電磁場テンソルを用いて実際に書き表して見ることにします.結論としては,電磁場テンソルの対称性から
\begin{align} \partial_{\lambda} F_{\mu\nu} + \partial_{\nu} F_{\lambda \mu} + \partial_{\mu} F_{\nu\lambda} = 0 \tag{7} \end{align}
が恒等的に成り立つため,(2) 式と (4) 式が自動的に満たされるということがわかります.これをビアンキ恒等式といいます.(7) 式は,双対テンソル (dual tensor) を
\begin{align} \tilde{F}^{\mu\nu} = \dfrac{1}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma} \tag{8} \end{align}
と導入することで,よりシンプルに
\begin{align} \partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu} =0 \tag{9} \end{align}
と表すことができます.これはちょうど (6) 式と対になっている式です.以下,この (7) – (9) 式を示していきます.
導出
まずは,電磁場テンソルの対称性から ビアンキ恒等式 (7)式を導いてみます. (5) 式を代入して整理すると
\begin{align} &\partial_{\lambda} F_{\mu\nu} + \partial_{\nu} F_{\lambda \mu} + \partial_{\mu} F_{\nu\lambda} \\ &= \partial_{\lambda} \left( \partial_{\mu} A_{\nu} – \partial_{\nu} A_{\mu} \right) + \partial_{\nu} \left( \partial_{\lambda} A_{\mu} – \partial_{\mu} A_{\lambda} \right) + \partial_{\mu} \left( \partial_{\nu} A_{\lambda} – \partial_{\lambda} A_{\nu} \right) \\ &= \left( \partial_{\lambda} \partial_{\mu} – \partial_{\mu}\partial_{\lambda}\right) A_{\nu} + \left(\partial_{\nu}\partial_{\lambda} – \partial_{\lambda} \partial_{\nu} \right)A_{\mu} + \left( \partial_{\mu} \partial_{\nu} – \partial_{\nu} \partial_{\mu} \right)A_{\lambda} \\ &= 0 \end{align}
となり,恒等的に (7) 式が成り立つことがわかりました.
次に,(2) 式と (4) 式がビアンキ恒等式と等価であることを見ていきます.(2) 式は前記事の (20) 式を使うと,
\begin{align} \partial_x B_x + \partial_y B_y + \partial_z B_z = \partial_1 F_{23} + \partial_2 F_{31} + \partial_3 F_{12} =0 \end{align}
(4) 式は例えば
\begin{align} \dfrac{1}{c} \partial_t B_x + \partial_y E_z – \partial_z E_y = \partial_0 F_{23} + \partial_2 F_{30} + \partial_3 F_{02} = 0 \end{align}
となり,ビアンキ恒等式を表していることがわかりました.
最後に,電磁場テンソルの双対テンソル \tilde{F}^{\mu\nu} を
\begin{align} \tilde{F}^{\mu\nu} = \dfrac{1}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma} \tag{10} \end{align}
と導入することでビアンキ恒等式が
\begin{align} \partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu} = 0 \tag{11} \end{align}
となることを見ましょう.
\begin{align} \partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu} = \dfrac{1}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_{\mu}F_{\rho\sigma} \tag{12} \end{align}
完全版対称テンソルは添字を \mu, \rho, \sigma に関してサイクリックに回しても同じになります:\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} = \varepsilon^{\sigma\nu\mu\rho} = \varepsilon^{\rho\nu\sigma\mu} .これを使うと,
\begin{align} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_{\mu} \tilde{F}_{\rho \sigma} &= \dfrac{1}{3} \left( \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_{\mu} \tilde{F}_{\rho \sigma} + \varepsilon^{\sigma\nu\mu\rho} \partial_{\sigma} \tilde{F}_{\mu \rho} + \varepsilon^{\rho\nu\sigma\mu} \partial_{\rho} \tilde{F}_{\sigma \mu} \right) \\ &= \dfrac{1}{3}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \left( \partial_{\mu} \tilde{F}_{\rho \sigma} + \partial_{\sigma} \tilde{F}_{\mu \rho} + \partial_{\rho} \tilde{F}_{\sigma \mu} \right) \\ &=0 \tag{13} \end{align}
1行目から2行目は添字 \mu, \rho, \sigma の入れ替え,2行目から3行目は完全反対称テンソルの対称性,2行目から3行目はビアンキ恒等式を使用しています.以上より (11) 式が示せました.
双対テンソルの要素
次に,この双対テンソル \tilde{F}^{\mu\nu} の成分を計算してみることにします.\tilde{F}^{\mu\nu} の成分は,例えば,
\begin{align} &\tilde{F}^{01} = \dfrac{1}{2}\varepsilon^{01\rho\sigma}F_{\rho\sigma} = \dfrac{1}{2} \left(\varepsilon^{0123} F_{23} + \varepsilon^{0132}F_{32}\right) =F_{23}, \tag{14}\\ &\tilde{F}^{12} = \dfrac{1}{2}\varepsilon^{12\rho\sigma}F_{\rho\sigma} = \dfrac{1}{2} \left(\varepsilon^{1203} F_{03} + \varepsilon^{1230}F_{30}\right) =F_{03} \tag{15} \end{align}
となります.したがって,前記事の (20) 式を使うと,双対テンソルの成分は具体的には,
\begin{align} &\tilde{F}^{\mu\nu} = \left(\begin{array}{cccc} 0 & B_x & B_y & B_z \\ -B_x & 0 & -\frac{E_z}{c} & \frac{E_y}{c} \\ -B_y & \frac{E_z}{c}& 0 & -\frac{E_x}{c} \\ -B_z & -\frac{E_y}{c} & \frac{E_x}{c} & 0 \end{array} \right), \tag{16} \\ \\ &\tilde{F}_{\mu\nu} = \left(\begin{array}{cccc} 0 & -B_x & -B_y & -B_z \\ B_x & 0 & -\frac{E_z}{c} & \frac{E_y}{c} \\ B_y & \frac{E_z}{c}& 0 & -\frac{E_x}{c} \\ B_z & -\frac{E_y}{c} & \frac{E_x}{c} & 0 \end{array} \right) \tag{17} \end{align}
となります.
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