電磁場テンソル２

　まずは，電磁場テンソルの対称性から ビアンキ恒等式 (7)式を導いてみます． (5) 式を代入して整理すると
$$\begin{align} &\partial_{\lambda} F_{\mu\nu} + \partial_{\nu} F_{\lambda \mu} + \partial_{\mu} F_{\nu\lambda} \\ &= \partial_{\lambda} \left( \partial_{\mu} A_{\nu} – \partial_{\nu} A_{\mu} \right) + \partial_{\nu} \left( \partial_{\lambda} A_{\mu} – \partial_{\mu} A_{\lambda} \right) + \partial_{\mu} \left( \partial_{\nu} A_{\lambda} – \partial_{\lambda} A_{\nu} \right) \\ &= \left( \partial_{\lambda} \partial_{\mu} – \partial_{\mu}\partial_{\lambda}\right) A_{\nu} + \left(\partial_{\nu}\partial_{\lambda} – \partial_{\lambda} \partial_{\nu} \right)A_{\mu} + \left( \partial_{\mu} \partial_{\nu} – \partial_{\nu} \partial_{\mu} \right)A_{\lambda} \\ &= 0 \end{align}$$
となり，恒等的に (7) 式が成り立つことがわかりました．

　次に，(2) 式と (4) 式がビアンキ恒等式と等価であることを見ていきます．(2) 式は前記事の (20) 式を使うと，
$$\begin{align} \partial_x B_x + \partial_y B_y + \partial_z B_z = \partial_1 F_{23} + \partial_2 F_{31} + \partial_3 F_{12} =0 \end{align}$$
(4) 式は例えば
$$\begin{align} \dfrac{1}{c} \partial_t B_x + \partial_y E_z – \partial_z E_y = \partial_0 F_{23} + \partial_2 F_{30} + \partial_3 F_{02} = 0 \end{align}$$
となり，ビアンキ恒等式を表していることがわかりました．

　最後に，電磁場テンソルの双対テンソル $\tilde{F}^{\mu\nu}$ を
$$\begin{align} \tilde{F}^{\mu\nu} = \dfrac{1}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma} \tag{10} \end{align}$$
と導入することでビアンキ恒等式が
$$\begin{align} \partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu} = 0 \tag{11} \end{align}$$
となることを見ましょう．
$$\begin{align} \partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu} = \dfrac{1}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_{\mu}F_{\rho\sigma} \tag{12} \end{align}$$
完全版対称テンソルは添字を $\mu, \rho, \sigma$ に関してサイクリックに回しても同じになります：$\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} = \varepsilon^{\sigma\nu\mu\rho} = \varepsilon^{\rho\nu\sigma\mu}$ ．これを使うと，
$$\begin{align} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_{\mu} \tilde{F}_{\rho \sigma} &= \dfrac{1}{3} \left( \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_{\mu} \tilde{F}_{\rho \sigma} + \varepsilon^{\sigma\nu\mu\rho} \partial_{\sigma} \tilde{F}_{\mu \rho} + \varepsilon^{\rho\nu\sigma\mu} \partial_{\rho} \tilde{F}_{\sigma \mu} \right) \\ &= \dfrac{1}{3}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \left( \partial_{\mu} \tilde{F}_{\rho \sigma} + \partial_{\sigma} \tilde{F}_{\mu \rho} + \partial_{\rho} \tilde{F}_{\sigma \mu} \right) \\ &=0 \tag{13} \end{align}$$
1行目から2行目は添字 $\mu, \rho, \sigma$ の入れ替え，2行目から3行目は完全反対称テンソルの対称性，2行目から3行目はビアンキ恒等式を使用しています．以上より (11) 式が示せました．