静電場・静磁場のもとでの電磁気学

時間変動しない電磁場のマクスウェル方程式

　ここでは，時間変動しない電磁場を考えて，そのもとで導かれる電磁場を求めていきましょう．導出の出発点は電磁場の基礎方程式であるマクスウェル方程式です：
\begin{align}
&\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}, \tag{1}\\
&\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{B} = 0, \tag{2}\\
&\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j} + \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}, \tag{3}\\
&\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{E} = -\dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \tag{4}
\end{align}
時間変動しない電磁場，つまり，\( \boldsymbol{E}\) と \(\boldsymbol{B} \) が時間に依存しない状況を考えているため，\( \partial/\partial t\) に関わる項はすべて落とすことができます．なので，マクスウェル方程式は
\begin{align}
&\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0},\tag{5}\\
&\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{B} = 0, \tag{6} \\
&\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j}, \tag{7}\\
&\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{E} = 0 \tag{8}
\end{align}
に帰着します．(5) – (8) を見てわかるように，電場は磁場には依存しなくなり，また磁場は電場に依存しなくなるため，以下では，静電場の場合 (5) 式と (8) 式，静磁場の場合 (6) 式と (7) 式を別々に考えていきます．

静電場

　まずは，電荷分布 \(\rho\) が時間的に変化しないような静電場の状況を考えていきます．このとき，スカラーポテンシャル \(\phi\) と電場 \(\boldsymbol{E}\) が
\begin{align}
&\phi \left(\boldsymbol{r}\right) = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \dfrac{\rho\left(\boldsymbol{x}\right) }{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right|} \ d^3 \boldsymbol{x} \tag{9}, \\
&\boldsymbol{E} \left( \boldsymbol{r}\right)
= – \boldsymbol{\nabla}_r \phi \left( \boldsymbol{r}\right) = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \rho\left(\boldsymbol{x}\right)\dfrac{\boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} }{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right|^3} \ d^3 \boldsymbol{x} \tag{10}
\end{align}
と表せることを以下で示していきます．

スカラーポテンシャルの方程式

　いつものように (8) 式が成り立つようにスカラーポテンシャル \(\phi\) 導入します（詳細はここを参照）：
\begin{align}
&\boldsymbol{E} = -\boldsymbol{\nabla} \phi \tag{11}
\end{align}
これを　(5) 式に代入をすることで，
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}^2 \phi = -\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}, \tag{12} \\
\end{align}
が得られます．

スカラーポテンシャルの一般解

　次に (12) 式を，電荷密度 \(\rho\) やの具体形は指定せずに，グリーン関数法を使って一般的に解いていきます．わかりやすさのため，スカラーポテンシャルを観測する位置を \( \boldsymbol{r} \) として明示すると，\( \rho \) は
\begin{align}
\rho \left( \boldsymbol{r}\right)
= \int \rho \left( \boldsymbol{x} \right) \delta \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right) d^3 \boldsymbol{x} \tag{13}
\end{align}
とデルタ関数で表すことができます．したがって，(12) 式は，グリーン関数 \(G\left(\boldsymbol{x}\right) \) を使って
\begin{align}
&\phi \left( \boldsymbol{r}\right) = \dfrac{1}{\varepsilon_0} \int \rho \left( \boldsymbol{x} \right) G \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right) d^3 \boldsymbol{x}, \tag{14} \\
&\boldsymbol{\nabla}^2 G\left(\boldsymbol{x}\right) = – \delta \left(\boldsymbol{x} \right) \tag{15}
\end{align}
と解くことができました．(15) 式はよく現れる微分方程式です．ここの (3) 式をそのまま使うと，\( G\left(\boldsymbol{x}\right) = \frac{1}{4\pi r} \) なので，最終的にスカラーポテンシャルは
\begin{align}
\phi \left(\boldsymbol{r}\right) = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \dfrac{\rho\left(\boldsymbol{x}\right) }{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right|} \ d^3 \boldsymbol{x} \tag{16}
\end{align}
と表すことができます (ここでは無限遠でのスカラーポテンシャルの値を 0 とおいています：\( \phi\left(\infty\right) = 0 \) ．

静電場

　最後に， (16) 式から電場を計算しましょう．電場は (11) 式と (16) 式より，
\begin{align}
\boldsymbol{E} \left( \boldsymbol{r}\right)
&= – \boldsymbol{\nabla}_r \phi \left( \boldsymbol{r}\right) \\
&= – \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \boldsymbol{\nabla}_r \dfrac{\rho\left(\boldsymbol{x}\right) }{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right|} \ d^3 \boldsymbol{x} \\
&= \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \rho\left(\boldsymbol{x}\right)\dfrac{\boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} }{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right|^3} \ d^3 \boldsymbol{x} \tag{17}
\end{align}
となります．あとは，考えている物理状況に応じて電荷密度 \(\rho\) の具体的な式を与えて計算すれば静電場の具体的な式が求まります．例えば，原点 \(O\) に点電荷 \( q \) が存在する場合は，電荷密度は \( \rho\left( \boldsymbol{x}\right) = q \delta^3 \left(\boldsymbol{x} \right)\) なので，(17)式に代入をすると，\( \boldsymbol{E} \left( \boldsymbol{r}\right) = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{\boldsymbol{r}}{r^3} \) となります．

静磁場

　次に，定常電流によって生じる磁場を考えていきます．電流の流れは一定で時間に依存しないため，生じる磁場は静磁場となります．導出はほとんど静電場と同じです．最終的に，

\begin{align}
&\boldsymbol{A} \left(\boldsymbol{r}\right) = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \dfrac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{x}\right) }{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right|} \ d^3 \boldsymbol{x}, \tag{18}\\
&\boldsymbol{B} \left(\boldsymbol{r}\right)
= \boldsymbol{\nabla}_r \times \boldsymbol{A} \left(\boldsymbol{r}\right)
= \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \dfrac{ \boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{x}\right) \times \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right)}{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right|^3} \ d^3 \boldsymbol{x} \tag{19}
\end{align}
と表せることを示していきます．

ベクトルポテンシャルの方程式

　いつものように式 (6) が成り立つようにベクトルポテンシャル \(\boldsymbol{A}\) を以下のように導入します（詳細はここを参照）：
\begin{align}
&\boldsymbol{B} =\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A}, \tag{20} \\
\end{align}
これを (7) 式に代入をすることで，
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{A} = -\mu_0 \boldsymbol{j} \tag{21}
\end{align}
が得られます．

ベクトルポテンシャルの一般解

　次に，(21) 式を，電流密度 \(\boldsymbol{j} \) の具体形は指定せずに，グリーン関数法を使って一般的に解いていきます．わかりやすさのため，ベクトルポテンシャルを観測する位置を \( \boldsymbol{r} \) として明示すると，\( \boldsymbol{j} \) は
\begin{align}
\boldsymbol{j} \left( \boldsymbol{r}\right)
= \int \boldsymbol{j} \left( \boldsymbol{x} \right) \delta \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right) d^3 \boldsymbol{x} \tag{22}
\end{align}
とデルタ関数で表すことができます．したがって，(20) 式は，グリーン関数 \(G\left(\boldsymbol{x}\right) \) を使って
\begin{align}
&\boldsymbol{A} = \mu_0 \int \boldsymbol{j} \left( \boldsymbol{x} \right) G \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right) d^3 \boldsymbol{x}, \tag{19} \\
&\boldsymbol{\nabla}^2 G\left(\boldsymbol{x}\right) = – \delta \left(\boldsymbol{x} \right) \tag{23}
\end{align}
と解くことができました．(23) 式はよく現れる微分方程式です．ここの (3) 式をそのまま使うと，\( G\left(\boldsymbol{x}\right) = \frac{1}{4\pi r} \) なので，最終的にベクトルポテンシャルは
\begin{align}
\boldsymbol{A} \left(\boldsymbol{r}\right) = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \dfrac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{x}\right) }{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right|} \ d^3 \boldsymbol{x} \tag{25}
\end{align}
と表すことができます．

静磁場

　最後に， (25) 式から磁場を計算してみます．(20) 式に (25) 式を代入すると，
\begin{align}
\boldsymbol{B} \left(\boldsymbol{r}\right)
&= \boldsymbol{\nabla}_r \times \boldsymbol{A} \left(\boldsymbol{r}\right) \\
&= \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \boldsymbol{\nabla}_r \times \dfrac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{x}\right) }{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right|} \ d^3 \boldsymbol{x} \\
&= \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \left[ – \dfrac{ \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x}}{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right|^3} \right] \times \boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{x}\right) \ d^3 \boldsymbol{x} \\
&= \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \dfrac{ \boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{x}\right) \times \left( \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right)}{\left| \boldsymbol{r} – \boldsymbol{x} \right|^3} \ d^3 \boldsymbol{x} \tag{26}
\end{align}
となります．あとは，考えている物理状況に応じて電流密度 \( \boldsymbol{j} \) の具体的な式を与えて計算すれば静磁場の具体的な式が求まります．