概要
前記事のおさらい
前の記事では，マクスウェル方程式
\begin{align}
&\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}, \tag{1}\\
&\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{B} = 0, \tag{2}\\
&\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j} + \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}, \tag{3}\\
&\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{E} = -\dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \tag{4}
\end{align}
に対して，電磁場テンソル
\begin{align}
F^{\mu\nu} = \partial^{\mu} A^{\nu} – \partial^{\nu} A^{\mu} \tag{5}
\end{align}
を導入することで，(1) 式と (3) 式が
\begin{align}
\partial_{\nu} F^{\mu\nu} = \mu_0 j^{\mu} \tag{6}
\end{align}
に帰着することを導きました．
双対テンソル
(2) 式と (4) 式は，電磁場テンソルの導出から自動的に満たされているはずですが，ここでは，(2) 式と (4) 式を電磁場テンソルを用いて実際に書き表して見ることにします．結論としては，電磁場テンソルの対称性から
\begin{align}
\partial_{\lambda} F_{\mu\nu} + \partial_{\nu} F_{\lambda \mu} + \partial_{\mu} F_{\nu\lambda} = 0 \tag{7}
\end{align}
が恒等的に成り立つため，(2) 式と (4) 式が自動的に満たされるということがわかります．これをビアンキ恒等式といいます．(7) 式は，双対テンソル (dual tensor) を
\begin{align}
\tilde{F}^{\mu\nu} = \dfrac{1}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma} \tag{8}
\end{align}
と導入することで，よりシンプルに
\begin{align}
\partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu} =0 \tag{9}
\end{align}
と表すことができます．これはちょうど (6) 式と対になっている式です．以下，この (7) – (9) 式を示していきます．
導出
まずは，電磁場テンソルの対称性から ビアンキ恒等式 (7)式を導いてみます． (5) 式を代入して整理すると
\begin{align}
&\partial_{\lambda} F_{\mu\nu} + \partial_{\nu} F_{\lambda \mu} + \partial_{\mu} F_{\nu\lambda} \\
&= \partial_{\lambda} \left( \partial_{\mu} A_{\nu} – \partial_{\nu} A_{\mu} \right)
+ \partial_{\nu} \left( \partial_{\lambda} A_{\mu} – \partial_{\mu} A_{\lambda} \right)
+ \partial_{\mu} \left( \partial_{\nu} A_{\lambda} – \partial_{\lambda} A_{\nu} \right) \\
&= \left( \partial_{\lambda} \partial_{\mu} – \partial_{\mu}\partial_{\lambda}\right) A_{\nu}
+ \left(\partial_{\nu}\partial_{\lambda} – \partial_{\lambda} \partial_{\nu} \right)A_{\mu}
+ \left( \partial_{\mu} \partial_{\nu} – \partial_{\nu} \partial_{\mu} \right)A_{\lambda} \\
&= 0
\end{align}
となり，恒等的に (7) 式が成り立つことがわかりました．
次に，(2) 式と (4) 式がビアンキ恒等式と等価であることを見ていきます．(2) 式は前記事の (20) 式を使うと，
\begin{align}
\partial_x B_x + \partial_y B_y + \partial_z B_z = \partial_1 F_{23} + \partial_2 F_{31} + \partial_3 F_{12} =0
\end{align}
(4) 式は例えば
\begin{align}
\dfrac{1}{c} \partial_t B_x + \partial_y E_z – \partial_z E_y = \partial_0 F_{23} + \partial_2 F_{30} + \partial_3 F_{02} = 0
\end{align}
となり，ビアンキ恒等式を表していることがわかりました．
最後に，電磁場テンソルの双対テンソル \(\tilde{F}^{\mu\nu}\) を
\begin{align}
\tilde{F}^{\mu\nu} = \dfrac{1}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma} \tag{10}
\end{align}
と導入することでビアンキ恒等式が
\begin{align}
\partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu} = 0 \tag{11}
\end{align}
となることを見ましょう．
\begin{align}
\partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu} = \dfrac{1}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_{\mu}F_{\rho\sigma} \tag{12}
\end{align}
完全版対称テンソルは添字を \(\mu, \rho, \sigma\) に関してサイクリックに回しても同じになります：\(\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} = \varepsilon^{\sigma\nu\mu\rho} = \varepsilon^{\rho\nu\sigma\mu} \) ．これを使うと，
\begin{align}
\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_{\mu} \tilde{F}_{\rho \sigma}
&= \dfrac{1}{3} \left( \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_{\mu} \tilde{F}_{\rho \sigma} + \varepsilon^{\sigma\nu\mu\rho} \partial_{\sigma} \tilde{F}_{\mu \rho} + \varepsilon^{\rho\nu\sigma\mu} \partial_{\rho} \tilde{F}_{\sigma \mu} \right) \\
&= \dfrac{1}{3}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \left( \partial_{\mu} \tilde{F}_{\rho \sigma} + \partial_{\sigma} \tilde{F}_{\mu \rho} + \partial_{\rho} \tilde{F}_{\sigma \mu} \right) \\
&=0 \tag{13}
\end{align}
1行目から2行目は添字 \(\mu, \rho, \sigma\) の入れ替え，2行目から3行目は完全反対称テンソルの対称性，2行目から3行目はビアンキ恒等式を使用しています．以上より (11) 式が示せました．
双対テンソルの要素
次に，この双対テンソル \( \tilde{F}^{\mu\nu} \) の成分を計算してみることにします．\(\tilde{F}^{\mu\nu} \) の成分は，例えば，
\begin{align}
&\tilde{F}^{01} = \dfrac{1}{2}\varepsilon^{01\rho\sigma}F_{\rho\sigma}
= \dfrac{1}{2} \left(\varepsilon^{0123} F_{23} + \varepsilon^{0132}F_{32}\right) =F_{23}, \tag{14}\\
&\tilde{F}^{12} = \dfrac{1}{2}\varepsilon^{12\rho\sigma}F_{\rho\sigma}
= \dfrac{1}{2} \left(\varepsilon^{1203} F_{03} + \varepsilon^{1230}F_{30}\right) =F_{03} \tag{15}
\end{align}
となります．したがって，前記事の (20) 式を使うと，双対テンソルの成分は具体的には，
\begin{align}
&\tilde{F}^{\mu\nu} =
\left(\begin{array}{cccc}
0 & B_x & B_y & B_z \\
-B_x & 0 & -\frac{E_z}{c} & \frac{E_y}{c} \\
-B_y & \frac{E_z}{c}& 0 & -\frac{E_x}{c} \\
-B_z & -\frac{E_y}{c} & \frac{E_x}{c} & 0
\end{array} \right), \tag{16} \\
\\
&\tilde{F}_{\mu\nu} =
\left(\begin{array}{cccc}
0 & -B_x & -B_y & -B_z \\
B_x & 0 & -\frac{E_z}{c} & \frac{E_y}{c} \\
B_y & \frac{E_z}{c}& 0 & -\frac{E_x}{c} \\
B_z & -\frac{E_y}{c} & \frac{E_x}{c} & 0
\end{array} \right) \tag{17}
\end{align}
となります．
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