概要
電磁気学の基礎方程式であるマクスウェル方程式 (Maxwell equation) は次の4本の方程式から構成されています．
\begin{align}
&\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}, \tag{1}\\
&\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{B} = 0, \tag{2}\\
&\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j} + \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}, \tag{3}\\
&\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{E} = -\dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \tag{4}
\end{align}
それぞれ上から順に，「ガウスの法則」，「磁場のガウスの法則」，「アンペールの法則」，「ファラデーの法則」と対応しています．ここでは，特殊相対論の観点から電磁場テンソル
\begin{align}
F^{\mu\nu} = \partial^{\mu} A^{\nu} – \partial^{\nu} A^{\mu} \tag{5}
\end{align}
を導入することで，4本からなるマクスウェル方程式が次の方程式にまとめ上げられることを示していきます．
\begin{align}
&\partial_{\nu} F^{\mu\nu} = \mu_0 j^{\mu}, \tag{6} \\
&\partial_{\lambda} F_{\mu\nu} + \partial_{\nu} F_{\lambda \mu} + \partial_{\mu} F_{\nu\lambda} = 0 \tag{7}
\end{align}
ここで，\( j^{\mu}\) は4元電流密度で \( j^{\mu} = \left(c\rho, \boldsymbol{j} \right)\) と定義される量です．長くなるので (7) 式については，パート2で説明します．
符号の規約
導出を始める前に，ここでの符号の規約を整理しておきます．ミンコフスキー計量の符号は \( \left( -, +, +, + \right)\)，具体的には
\begin{align}
\eta_{\mu\nu} =
\left(\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 &0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right) \tag{8}
\end{align}
とします．（本によっては \( \left( +, -, -, – \right)\) と符号を取るものもあり，この場合，以下の数式の符号が反転する箇所がでてきます．ただし，観測される物理量に関してはこの符号の差異は現れません．詳しくはここに記載があります）．
導出
まず，電磁場の源 \( \rho, \boldsymbol{j} \) とは関係ない (2) 式と (4) 式に注目をしましょう．磁場 \(\boldsymbol{B} \)は
\begin{align}
&\boldsymbol{B} =\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A} \tag{9}
\end{align}
とおけば，任意のベクトル \( \boldsymbol{A}\) に関して，自動的に(2) 式が満たされることがわかります．さらに，これを式 (4) に代入すると，\( \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{E} = \boldsymbol{\nabla} \times \left( -\frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{A} \right)\) となります．そこで，電場 \(\boldsymbol{E} \)は
\begin{align}
&\boldsymbol{E} = -\dfrac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} -\boldsymbol{\nabla} \phi, \tag{10}
\end{align}
とおけば ，任意の関数 \(\phi\) に関して，(4) 式が自動的に満たされることがわかります（任意の関数 \(\phi\) に関して，\(\ \boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{\nabla} \phi =0 \) が成り立つ事実を用いています）．この \(\phi\) をスカラーポテンシャル (scalar potential)，\(\boldsymbol{A}\) をベクトルポテンシャル (vector potential) と呼びます．
(1)と(3)式に(5)と(6)式を代入をすると，それぞれ以下のように変形ができます：
\begin{align}
\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} &= \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{E} \\
&= -\dfrac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A} – \boldsymbol{\nabla}^2 \phi \\
&=\left[\dfrac{\partial^2}{c^2 \partial t^2}-\boldsymbol{\nabla}^2 \right]\dfrac{\phi}{c} – \dfrac{\partial}{c\partial t}\left[\dfrac{\partial}{c\partial t} \dfrac{\phi}{c}+\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A} \right], \tag{11} \\
\mu_0 \boldsymbol{j}
&= – \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{B} \\
&= \dfrac{\partial}{c^2\partial t} \left(\dfrac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} +\boldsymbol{\nabla}\phi\right) – \left(\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{A} – \boldsymbol{\nabla}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{A} \right) \right)\\
&=\left[\dfrac{\partial^2}{c^2 \partial t^2}-\boldsymbol{\nabla}^2 \right]\boldsymbol{A} +\boldsymbol{\nabla} \left[\dfrac{\partial}{c\partial t} \dfrac{\phi}{c}+\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A} \right] \tag{12}
\end{align}
(11) 式と (12) 式をよく見ると，次のように4元ポテンシャル \(A^{\mu}\) と 電流密度 \(j^{\mu}\) を定義すると式がきれいにまとまりそうです：
\begin{align}
&A^{\mu} = \left( \dfrac{\phi}{c}, \boldsymbol{A}\right),\tag{13} \\
&j^{\mu} = \left(c\rho, \boldsymbol{j} \right) \tag{14}
\end{align}
実際に，この下では (11) 式と (12) 式は，
\begin{align}
&\mu_0 j^0 =-\partial_\nu \partial^\nu A^0 + \partial^0\partial_\nu A^\nu, \tag{15} \\
&\mu_0 j^j = -\partial_\nu \partial^\nu A^j + \partial^j\partial_\nu A^\nu \tag{16}
\end{align}
となります．
さらに，この (15) 式と (16) 式をまとめると，\(\mu_0 j^{\mu} = \partial_\nu \left(\partial^{\mu} A^{\nu} – \partial^{\nu} A^{\mu}\right)\) となります．そこで，電磁場テンソル
\begin{align}
F^{\mu\nu} = \partial^{\mu} A^{\nu} – \partial^{\nu} A^{\mu} \tag{17}
\end{align}
を導入すれば，マクスウェル方程式 (1) 式と (3) 式は簡潔に
\begin{align}
\partial_{\nu} F^{\mu\nu} = \mu_0 j^{\mu} \tag{18}
\end{align}
と集約できることがわかりました．
電磁場テンソルの要素
以上の議論から電磁場テンソル \(F^{\mu\nu} \) を導入すれば，マクスウェル方程式が1つの式できれいにまとまることがわかりました．次に，この電磁場テンソル \(F^{\mu\nu} \) の成分を計算してみることにします．このときすべての成分を計算する必要はありません．\(F^{\mu\nu} \) は，その定義 (17) 式からわかるように \(\mu\) と \(\nu\) の添字の入れ替えに対して符号が反対になります．つまり，電磁場テンソル \(F^{\mu\nu} \) は反対称テンソルのため，その対角成分はすべて0となります．そこで，非対角成分だけ計算することにします：
\begin{align}
&F^{0j} = -F^{0j} = – \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial A^{j}}{\partial t} – \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \rho}{\partial x^{j}} = \dfrac{E^j}{c}, \tag{19}\\
&F^{jk} = -F^{kj} = \partial^{j} A^{k} – \partial^{k} A^{j} = \varepsilon_{jk\ell} \left[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A}\right]^{\ell} = \varepsilon_{jk\ell} B^{\ell} \tag{20}
\end{align}
したがって，電磁場テンソルの成分は具体的には，次にように書き下せることがわかりました：
\begin{align}
&F^{\mu\nu} =
\left(\begin{array}{cccc}
0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\
\frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\
\frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\
\frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0
\end{array} \right), \tag{21}\\
\\
&F_{\mu\nu} =
\left(\begin{array}{cccc}
0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\
-\frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\
-\frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\
-\frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0
\end{array} \right)\tag{22}
\end{align}
ここで\(F_{\mu\nu} \) は，電磁場テンソル \(F^{\mu\nu} \) をミンコフスキー計量 \(\eta_{\mu\nu} \) で添字を下げたもので，\(F_{\mu\nu}=\eta_{\mu\rho} \eta_{\nu\sigma} F^{\rho\sigma} \) と定義されます．
電荷保存則
最後に，電磁場テンソルの反対称性を利用して電荷保存則を導いてみます．(18) 式を微分すると
\begin{align}
\partial_{\mu}\partial_{\nu} F^{\mu\nu} = \mu_0 \partial_{\mu}j^{\mu} \tag{23}
\end{align}
ここで，\(F^{\mu\nu} \) は反対称テンソルより \(\partial_{\mu}\partial_{\nu} F^{\mu\nu} =0 \) なので，
\begin{align}
\partial_{\mu}j^{\mu} = 0 \tag{24}
\end{align}
が成り立ちます．これは電荷保存の法則と対応しています．実際に具体的な成分を書き下すと，
\begin{align}
\dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{j} = 0 \tag{25}
\end{align}
となります．
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