局所慣性系：リーマン正規座標系

概要

　一般相対論には座標変換の自由度があり，この自由度を用いることで，局所的に計量を平坦な時空間を表すミンコフスキー時空にとることができます．このような座標系を局所慣性系 (local inertial frame) といい，次の二種類があります．

1. リーマン正規座標系
   ある時空間の一点 \(O\) において，計量をミンコフスキー計量 \(\eta_{\mu\nu}\)，クリストッフェル記号を\(\Gamma^{\mu}{}_{\nu\lambda}=0\) ととれるような座標系をリーマン正規座標 (Riemann normal coordinates) といいます．
   
   
2. フェルミ正規座標系
   ある時間的測地線 \(\gamma\) 上の任意の点において，計量をミンコフスキー計量 \(\eta_{\mu\nu}\)，クリストッフェル記号を \(\Gamma^{\mu}{}_{\nu\lambda}=0\) ととれるような座標系をフェルミ正規座標 (Fermi normal coordinates) といいます．

ここでは，リーマン正規座標系の構成方法を紹介していきます．

局所慣性系の具体形

　まず導出に入る前に，この2つの局所慣性系が数式でどのように表現されるかを見ましょう．

リーマン正規座標系

　リーマン正規座標系では，ある時空間の一点 \(O\) において局所的にミンコフスキー時空がとれて，計量とクリストッフェル記号は下記の通り表されます：
\begin{align}
&g_{\mu\nu} \left( O \right) = \eta_{\mu\nu}, \tag{1} \\
&\Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta} \left( O \right) = 0 \tag{2}
\end{align}
さらに，点 \(O\) の付近では計量 \(g_{\mu\nu}\) は
\begin{align}
g_{\mu\nu}\left( x^{\mu} \right) = \eta_{\mu\nu} -\dfrac{1}{3} R_{\mu\alpha\nu\beta} x^{\alpha}x^{\beta} + \cdots \tag{3}
\end{align}
と表すことができます．

フェルミ座標系

フェルミ正規座標系では，時間的測地線 \(\gamma\) の任意の点で局所的にミンコフスキー時空がとれ，計量とクリストッフェル記号は
\begin{align}
&g_{\mu\nu} \left( O \right) = \eta_{\mu\nu}, \tag{4} \\
&\Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta} \left( O \right) = 0 \tag{5}
\end{align}
を満たす．さらに，点 \(O\) の付近の計量は
\begin{align}
&g_{00} = -1 – R_{0p0q}x^{p}x^{q} + \cdots, \tag{6} \\
&g_{0j} = \dfrac{2}{3} R_{jpq0} x^{p}x^{q} + \cdots, \tag{7} \\
&g_{jk} = \delta_{jk} – \dfrac{1}{3} R_{jpkq} x^{p}x^{q} + \cdots \tag{8}
\end{align}
と表すことができます．

導出

　まず，時空内部に適当に原点 \(O\) をとり，この周りで互いに直行する座標系を構築することを考えます．原点 \(O\) の付近に点 \(P\) をとって，原点 \(O\) と点 \(P\) を測地線 \(\beta\) で繋ぎます．この測地線は時間的でも空間的でもどちらでも良いのですが，ここでは空間的測地線を考え，そのアフィンパラメータを例えば固有距離 \(s\) とします（時間的測地線の場合は \(c\tau\) をパラメータとすればよいです）．簡単のため，原点 \(O\) では \(s=0\)となるように値を取ることにします．測地線 \(\beta\)の原点での単位接ベクトルを \(n^\mu\) とします．すると，\(\dot{x}^{\mu} = n^{\mu}\)となりますので，これを積分すると
\begin{align}
x^{\mu} = s n^{\mu} \tag{9}
\end{align}
です．点\(P\) は測地線 \(\beta\) 上になるので測地線の方程式
\begin{align}
\ddot{x}^{\mu} + \Gamma^{\mu}{}_{\alpha \beta} \dot{x}^{\alpha} \dot{x}^{\beta} = 0 \tag{10}
\end{align}
を満たします．ここで，ドット \( \dot{}\) は固有距離 \(s\) による微分を表すものとします．(9) 式より\(\dot{x}^{\mu} = n^{\mu}, \ddot{x}^{\mu} = 0\) が成り立つので，これを測地線の方程式 (10)に代入をすると，
\begin{align}
&0 = \Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta} n^{\alpha}n^{\beta} = \Gamma^{\mu}{}_{(\alpha\beta)} n^{\alpha}n^{\beta} \\
&\Rightarrow \ \ \Gamma^{\mu}{}_{(\alpha\beta)} = \Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta} = 0 \tag{11}
\end{align}
が成り立ちます．恒等式 \( g_{\mu\nu,\alpha} = g_{\mu\rho}\Gamma^{\rho}{}_{\nu\alpha} + g_{\nu\rho} \Gamma^{\rho}{}_{\mu\alpha} = \Gamma_{\mu\nu\alpha} + \Gamma_{\nu\mu\alpha}\) を使うと，原点では計量 \(g_{\mu\nu}\) は
\begin{align}
g_{\mu\nu , \alpha} = 0 \tag{12}
\end{align}
を満たすことがわかります．さらに，測地線の方程式 (4) を \(s\) に関して微分をすると，
\begin{align}
0&= \dddot{x}^{\mu} + \dot{\Gamma}^{\mu}{}_{\alpha\beta} \dot{x}^{\alpha} \dot{x}^{\beta} + 2\Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta} \ddot{x}^{\alpha} \dot{x}^{\beta} \\
&= \dddot{x}^{\mu} + \Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta,\gamma} \dot{x}^{\alpha}\dot{x}^{\beta} \dot{x}^{\gamma} – 2\Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta} \Gamma^{\alpha}{}_{\gamma \delta} \dot{x}^{\beta} \dot{x}^{\gamma} \dot{x}^{\delta} \\
&= \Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta,\gamma} \dot{x}^{\alpha}\dot{x}^{\beta} \dot{x}^{\gamma} \\
&= \Gamma^{\mu}{}_{(\alpha\beta,\gamma)} \dot{x}^{\alpha}\dot{x}^{\beta} \dot{x}^{\gamma} \tag{13}
\end{align}
と変形できます．したがって，クリストッフェル記号に関して
\begin{align}
\Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta,\gamma} + \Gamma^{\mu}{}_{\beta\gamma,\alpha} + \Gamma^{\mu} \tag{14}{}_{\gamma\alpha,\beta} =0
\end{align}
が成り立ちます．一方で，(11) 式よりリーマンテンソルは\( R^{\alpha}{}_{\beta\mu\nu} = \Gamma^{\alpha}{}_{\beta\nu,\mu} – \Gamma^{\alpha}{}_{\beta\mu,\nu}\) となるため，
\begin{align}
R^{\alpha}{}_{\beta\mu\nu} + R^{\alpha}{}_{\mu\beta\nu}
&= \Gamma^{\alpha}{}_{\beta\nu,\mu} – \Gamma^{\alpha}{}_{\beta\mu,\nu} + \Gamma^{\alpha}{}_{\mu\nu,\beta} – \Gamma^{\alpha}{}_{\mu\beta,\nu} \\
&= -2\Gamma^{\alpha}{}_{\beta\mu,\nu} + \left( \Gamma^{\alpha}{}_{\beta\nu,\mu} + \Gamma^{\alpha}{}_{\mu\nu,\beta} \right) \\
&= -3\Gamma^{\alpha}{}_{\beta\mu,\nu} \tag{15}
\end{align}
が成立します．ここから，クリストッフェル記号の微分はリーマンテンソルを用いて，
\begin{align}
\Gamma^{\alpha}{}_{\beta\mu,\nu}
= -\dfrac{1}{3} \left( R^{\alpha}{}_{\beta\mu\nu} + R^{\alpha}{}_{\mu\beta\nu} \right) \tag{16}
\end{align}
と表すことができます．さらに，\(g_{\mu\nu,\alpha} = \Gamma_{\mu\nu\alpha} + \Gamma_{\nu\mu\alpha}\)より，
\begin{align}
g_{\mu\nu,\alpha\beta}
&= \left( g_{\mu\rho} \Gamma^{\rho}{}_{\nu\alpha} + g{\nu\rho} \Gamma^{\rho}{}_{\mu\alpha} \right)_{,\beta} \\
&=g_{\mu\rho} \Gamma^{\rho}{}_{\nu\alpha,\beta} + g_{\nu\rho} \Gamma^{\rho}{}_{\mu\alpha,\beta} \\
&= -\dfrac{1}{3}\left[ g_{\mu\rho} \left( R^{\rho}{}_{\nu\alpha\beta} + R^{\rho}{}_{\alpha\nu\beta} \right) + g_{\nu\rho} \left( R^{\rho}{}_{\mu\alpha\beta} + R^{\rho}{}_{\alpha\mu\beta} \right)\right] \\
&= -\dfrac{1}{3}\left( R_{\mu\nu\alpha\beta} + R_{\mu\alpha\nu\beta} + R_{\nu\mu\alpha\beta} + R_{\nu\alpha\mu\beta} \right) \\
&= -\dfrac{1}{3}\left( R_{\mu\alpha\nu\beta} + R_{\nu\alpha\mu\beta} \right) \\
&= -\dfrac{1}{3}\left( R_{\mu\alpha\nu\beta} + R_{\mu\beta\nu\alpha}\right) \tag{17}
\end{align}
で，計量とリーマンテンソルが関係づけることができました．この式より，\( g_{\mu\nu}\) を原点 \(O\) の周りで展開すると，
\begin{align}
g_{\mu\nu} \left( x \right)
&= \eta_{\mu\nu} + g_{\mu\nu,\lambda} x^{\lambda} + \dfrac{1}{2} g_{\mu\nu,\alpha\beta} x^{\alpha}x^{\beta} + \cdots \\
&= \eta_{\mu\nu} + \dfrac{1}{2} g_{\mu\nu,\alpha\beta} x^{\alpha}x^{\beta} + \cdots \\
&= \eta_{\mu\nu} -\dfrac{1}{3}R_{\mu\alpha\nu\beta} x^{\alpha}x^{\beta} + \cdots \tag{18}
\end{align}
となって，リーマン正規座標の計量が2次まで導くことができました．