Mehlerの公式

概要

ここでは，エルミート多項式の直交性に関する公式のMehlerの公式
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{z^n}{n! \ 2^n} H_n(q) H_n(q’) = \dfrac{1}{\sqrt{1-z^2}} \exp\left[\dfrac{2qq’z – \left(q^2 + q’^2 \right)z^2}{1-z^2} \right] \tag{1}
\end{align}
を証明していきます．そしてMehelerの公式の応用して，調和振動子の固有関数 \( \varphi_n(x) \) の完全性を示していきましょう．

証明

　いきなりテクニカルな式変形ですが，まずエルミート多項式を積分表示にしていきます．ガウス積分についての公式
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \tag{2}
\end{align}
を使うと，エルミート多項式はその定義から
\begin{align}
H_n(q) &= (-1)^n e^{q^2} \dfrac{d^n}{d q^n} e^{-q^2} \\
&= (-1)^n e^{q^2} \dfrac{d^n}{d q^n} e^{-q^2} \times \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} dk e^{- \left(k + iq \right)^2} \\
&= \dfrac{e^{q^2}}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} dk (-1)^n \dfrac{d^n}{d q^n} e^{- k^2 – 2ikq } \\
&= \dfrac{e^{q^2}}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} dk \left(2ik \right)^n e^{- k^2 – 2ikq } \tag{3}
\end{align}
となって，積分形で表すことができました．この(3)式を使って (1)式の左辺を変形していきます．
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{z^n}{n! \ 2^n} H_n(q) H_n(q’)
&= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{z^n}{n! \ 2^n} \dfrac{e^{q^2 + q’^2 }}{\pi} \iint dk dk’ \left(2ik \right)^n \left(2ik’ \right)^n e^{- k^2 – 2ikq }e^{- k’^2 – 2ik’q’ } \\
&= \dfrac{e^{q^2 + q’^2 }}{\pi} \iint dk dk’ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\left( -2kk’z \right)^n}{n!} e^{- k^2 – 2ikq }e^{- k’^2 – 2ik’q’ } \\
&= \dfrac{e^{q^2 + q’^2 }}{\pi} \iint dk dk’ \exp\left[ -\left(k^2 + k’^2 \right) – 2kk’ z – 2i \left(kq + k’q’ \right) \right] \tag{4}
\end{align}
ここで，２行目から3行目に移るときに，\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\left(-2kk’z \right)^n}{n!} = e^{-2kk’z} \) を使いました．さらに，積分変数を \(k + k’ = u, \ k – k’ = v\)と変換すれば，
\begin{align}
(4)
&= \dfrac{e^{q^2 + q’^2 }}{\pi} \iint du dv \exp\left[ – \dfrac{1}{2} \left( u^2 + v^2\right) – \dfrac{1}{2} \left( u^2 – v^2\right)z – i \left( u \left(q + q’ \right) + v\left(q – q’ \right) \right) \right] \\
&= \dfrac{e^{q^2 + q’^2 }}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} du e^{-\frac{1}{2}\left(1 + z\right)u^2 – i\left( q + q’\right)u} \int_{-\infty}^{\infty} dv e^{-\frac{1}{2}\left(1 – z\right)v^2 – i\left( q – q’\right)v} \tag{5}
\end{align}
となって，(5)式を \(u\) と \( v \) の2つの変数についての独立な積分に分離することができました．\(u\) と \( v \) の積分はそれぞれ以下のように計算ができます：
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} du e^{-\frac{1}{2}\left(1 + z\right)u^2 – i\left( q + q’\right)u}
&= \int_{-\infty}^{\infty} du \exp\left[ {-\dfrac{1}{2}\left(1 + z\right) \left(u + \dfrac{q + q’}{1+z}i \right)^2 – \dfrac{\left(q + q’ \right)^2}{2\left(1+z \right)}} \right] \\
&= \sqrt{\dfrac{\pi}{1+z}} \exp \left[- \dfrac{\left(q + q’ \right)^2}{2\left(1+z \right)} \right] \tag{6}
\end{align}
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} dv e^{-\frac{1}{2}\left(1 – z\right)v^2 – i\left( q – q’\right)v}
&= \int_{-\infty}^{\infty} dv \exp\left[ {-\dfrac{1}{2}\left(1 – z\right) \left(v – \dfrac{q – q’}{1-z}i \right)^2 – \dfrac{\left(q – q’ \right)^2}{2\left(1-z \right)}} \right] \\
&= \sqrt{\dfrac{\pi}{1-z}} \exp \left[- \dfrac{\left(q – q’ \right)^2}{2\left(1-z \right)} \right] \tag{7}
\end{align}
以上から，(6)と(7) を (5) に代入すると，
\begin{align}
(5)
&= \dfrac{e^{q^2 + q’^2 }}{\pi} \times \sqrt{\dfrac{\pi}{1+z}} \exp \left[- \dfrac{\left(q + q’ \right)^2}{2\left(1+z \right)} \right] \times \sqrt{\dfrac{\pi}{1-z}} \exp \left[- \dfrac{\left(q – q’ \right)^2}{2\left(1-z \right)} \right] \\
&= \dfrac{e^{q^2 + q’^2 }}{\sqrt{1-z^2}} \exp \left[- \dfrac{1}{2} \left(q^2 + q’^2 \right) \left(\dfrac{1}{1+z} + \dfrac{1}{1-z} \right) – qq’ \left( \dfrac{1}{1+z} + \dfrac{1}{1-z} \right) \right] \\
&= \dfrac{e^{q^2 + q’^2 }}{\sqrt{1-z^2}} \exp\left[\dfrac{- \left(q^2 + q’^2 \right) + 2qq’z}{1-z^2} \right] \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{1-z^2}} \exp\left[\dfrac{2qq’z – \left(q^2 + q’^2 \right)z^2}{1-z^2} \right]
\end{align}
と変形ができて，Mehlerの公式を示すことができました．

調和振動子の固有関数の完全性

　次にMehelerの公式の適用することで，調和振動子の固有関数 \( \varphi_n(x) \) の完全性
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n (x) \varphi_n (x’) = \delta \left(x – x’ \right) \tag{8}
\end{align}
を証明することにしましょう．Mehlerの公式より，上の左辺は
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n (x) \varphi_n (x’)
&= \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\alpha}{n! \ 2^n} e^{-\frac{1}{2}q^2} H_n(q) e^{-\frac{1}{2}q’^2} H_n(q’) \\
&= \dfrac{\alpha}{\sqrt{\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left( q^2 + q’^2\right)} \lim_{ z\to 1} \dfrac{1}{\sqrt{1-z^2}} \exp\left[ \dfrac{2qq’z – \left( q^2 + q’^2 \right) z^2}{1-z^2} \right] \tag{9}
\end{align}
\(\varepsilon = 1-z\) とおけば，
\begin{align}
(9) &= \dfrac{\alpha}{\sqrt{\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left( q^2 + q’^2\right)} \lim_{ \varepsilon \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{ \varepsilon \left(2 – \varepsilon \right)}} \exp\left[ \dfrac{ – \left(q – q’ \right)^2 + 2 \left(q^2 – qq’ + q’^2 \right)\varepsilon – \left(q^2 + q’^2 \right)\varepsilon^2}{\varepsilon \left(2 – \varepsilon \right)} \right] \\
&= \alpha \lim_{ \varepsilon \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi \varepsilon}} \exp\left[ – \dfrac{1}{2\varepsilon}\left(q- q’ \right)^2 + \dfrac{1}{2} \left(q -q’ \right)^2 \right] \\
&= \alpha \delta\left(q – q’ \right) \\
&= \delta \left(x – x’ \right) \end{align}
となり，Mehelerの公式で簡単に完全性が示すことができました．上の式変形の際には，\(\delta\) 関数に関する公式
\begin{align}
&\delta(x) = \lim_{ \varepsilon \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi \varepsilon}} e^{-\frac{\alpha^2}{2\varepsilon} } \tag{10} \\
&\delta(ax) = \dfrac{1}{\left|a \right|} \delta(x) \tag{11}
\end{align}
を使用していることに注意です．