球対称な系からの電磁波の放射

概要

ここでは，電荷密度と電流密度が球対称な場合には，電磁波が放射されないことを示していきましょう．

球対称な系からの電磁波の放射

　出発点はマクスウェル方程式です．ここで示したように，磁場 \(\boldsymbol{B} \) をベクトルポテンシャル \(\boldsymbol{A}\) を用いて， \(\boldsymbol{B} =\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A} \) と表したとき，\(\boldsymbol{A}\) は波動方程式を満たします．この波動方程式は，次のような一般解を持つのでした：
\begin{align}
\boldsymbol{A}\left(t,\boldsymbol{r}\right)= \dfrac{\mu_0}{4\pi}\int\dfrac{\boldsymbol{j}\left(t-\frac{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\right|}{c},\boldsymbol{x}\right)}{\left|\boldsymbol{r}- \boldsymbol{x}\right|} \ d^3\boldsymbol{x} \tag{1}
\end{align}
ここで，\( \boldsymbol{j} \) は電流密度で電磁波のソースとなります．今考えている物理系は球対称ですので，電流密度は時間 \(t\) と動径方向 \(r\) のみの関数で，その \(\theta\) と \(\varphi\) 成分は0で \(r\) 成分のみ持ちます．つまり，
\begin{align}
\boldsymbol{j} = j_r \left(t,r\right) \boldsymbol{e}_r \tag{2}
\end{align}
と表すことができます．したがって，(2) 式を (1) 式に代入をすることで，ベクトルポテンシャルは
\begin{align}
\boldsymbol{A} = A_r \left(t,r\right) \boldsymbol{e}_r \tag{3}
\end{align}
と表せることがわかります．磁場は \( \boldsymbol{B} = \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A} \) と求めることができますが，\( \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A}\) は極座標系では，
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A} &=
\boldsymbol{e}_r \dfrac{1}{r\sin \theta}\left[ \dfrac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin \theta A_{\varphi}\right) – \dfrac{\partial A_{\theta}}{\partial \varphi}\right] \\
& + \boldsymbol{e}_{\theta} \dfrac{1}{r} \left[ \dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{\partial A_r }{\partial \varphi} – \dfrac{\partial }{\partial r} \left(r A_{\varphi}\right) \right]
+ \boldsymbol{e}_{\varphi} \dfrac{1}{r} \left[ \dfrac{\partial }{\partial r} \left(r A_{\theta} \right) – \dfrac{\partial A_r }{\partial \theta} \right] \tag{4}
\end{align}
となるため，(3) 式を代入すると，\(A_{\theta} = A_{\varphi} = \frac{\partial A_{r}}{\partial \theta} = \frac{\partial A_{r}}{\partial \varphi} = 0\) より \( \boldsymbol{B} = \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A} = 0 \) となることがわかります． ここから電磁波が放射されないことを示すのには，一番ストレートの方法は，電磁場のエネルギーの流れを表すポインティングベクトルに注目することです．ポインティングベクトルは，
\begin{align}
\boldsymbol{S} = \dfrac{1}{\mu_0} \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B} = 0 \tag{5}
\end{align}
と 0 になるため，結果として電磁波は放射されないことが示せました．