積分の漸近展開：ラプラスの方法

概要

　次のような実関数 \(f\left(x\right), \phi\left(x\right)\) に関する積分を考えましょう：
\begin{align}
I_{\varepsilon} =\int_{a}^{b} f\left(x\right) e^{-\phi\left(x\right)/\varepsilon} dx \tag{1}
\end{align}
関数 \(\phi\left(x\right)\) が \(\phi\left(x\right)\) が \(a<x_0<b\) を満たす点 \(x_0\) で極小値を持つとします．つまり
\begin{align}
&\phi^{(1)}_0 \equiv \left. \dfrac{d\phi}{dx} \right|{x=x_0} = 0, \tag{2} \\
&\phi^{(2)}_0 \equiv \left. \dfrac{d^2\phi}{dx^2} \right|{x=x_0} > 0 \tag{3}
\end{align}
を仮定します．このとき，\(\varepsilon \rightarrow 0\) のもとで，積分 \(I\) は次のように漸近展開できます．
\begin{align}
I_{\varepsilon}
= \sqrt{\varepsilon} e^{-\phi_0 / \varepsilon} \sqrt{\dfrac{2\pi}{\phi^{(2)}_0}}
\left[ F_0 + F_1 \varepsilon + F_2 \varepsilon^2 + \mathcal{O}\left(\varepsilon^3\right) \right] \tag{4}
\end{align}
これをラプラスの方法と呼びます．普通の本には 0次までしか示していないのですが，ここでは2次項まで示してあります．\(F_0, F_1, F_2\) は
\begin{align}
F_0 &= f_0, \tag{5}\\
F_1 &= \dfrac{1}{2}\dfrac{f^{(2)}_0}{\phi^{(2)}_0} – \dfrac{1}{8}\dfrac{ f_0 \phi^{(4)}_0 }{ \phi^{(2)}_0{}^2 }
– \dfrac{1}{2}\dfrac{f^{(1)}_0 \phi^{(3)}_0}{\phi^{(2)}_0{}^2}+ \dfrac{5}{24} \dfrac{ f_0 \phi^{(3)}_0{}^2 }{ \phi^{(2)}_0{}^3 } , \tag{6}\\
F_2 &= \dfrac{1}{8}\dfrac{f^{(4)}_0}{\phi^{(2)}_0{}^2}
– \dfrac{1}{48} \dfrac{f_0 \phi^{(6)}_0}{\phi^{(2)}_0{}^3}
– \dfrac{1}{8} \dfrac{f_0^{(1)} \phi^{(5)}_0}{\phi^{(2)}_0{}^3}
– \dfrac{5}{16} \dfrac{f^{(2)}_0 \phi^{(4)}_0}{\phi^{(2)}_0{}^3}
– \dfrac{5}{12} \dfrac{ f^{(3)}_0 \phi^{(3)}_0 }{\phi^{(2)}_0{}^3} \\
& \hspace{1em}
+ \dfrac{35}{384} \dfrac{f_0 \phi^{(4)}_0{}^2}{\phi^{(2)}_0{}^4}
+ \dfrac{7}{48} \dfrac{f_0 \phi^{(3)}_0 \phi^{(5)}_0}{\phi^{(2)}_0{}^4}
+ \dfrac{35}{48} \dfrac{f_0^{(1)} \phi^{(3)}_0 \phi^{(4)}_0}{\phi^{(2)}_0{}^4}
+ \dfrac{35}{48} \dfrac{f^{(2)}_0 \phi^{(3)}_0{}^2}{\phi^{(2)}_0{}^4} \\
& \hspace{1em}
– \dfrac{35}{64} \dfrac{f_0 \phi^{(3)}_0{}^2 \phi^{(4)}_0}{\phi^{(2)}_0{}^5}
– \dfrac{35}{48} \dfrac{ f^{(1)}_0 \phi^{(3)}_0{}^3 }{\phi^{(2)}_0{}^5}
+ \dfrac{385}{1152} \dfrac{f_0 \phi^{(3)}_0{}^4}{\phi^{(2)}_0{}^6} \tag{7}
\end{align}
と定義される量です．以下，この式を導出していきましょう．

導出

　ここでは，\(\varepsilon\) の1次までを示します．2次項も根性が必要ですが，ほぼ同様に計算ができます． \(f\left(x\right)\) と \(\phi\left(x\right)\) を\(x_0\) の周りでそれぞれ2次，4次まで展開すると，
\begin{align}
&f\left(x\right) = f_0 + f^{(1)}\left(x-x_0\right) + \dfrac{1}{2} f^{(2)} \left(x-x_0\right)^2 + \cdots, \\
&\phi\left(x\right) = \phi_0 + \dfrac{1}{2} \phi^{(2)} \left(x-x_0\right)^2
\dfrac{1}{6} \phi^{(3)}_0 \left(x-x_0\right)^3 + \dfrac{1}{24} \phi^{(4)}_0 \left(x-x_0\right)^4 + \cdots
\end{align}
となります．したがって，
\begin{align}
I_{\varepsilon}
&= e^{- \phi_0 / \varepsilon} \int_{-\infty}^{\infty} e^{- \frac{1}{2\varepsilon} \phi^{(2)}0 \left(x-x_0\right)^2} \left[ f_0 + f^{(1)}_0\left(x-x_0\right) + \dfrac{1}{2} f^{(2)}_0 \left(x-x_0\right)^2 + \cdots \right] \\
& \hspace{1em} \times \exp \left[ -\dfrac{1}{\varepsilon} \left( \dfrac{1}{6} \phi^{(3)}_0 \left(x-x_0\right)^3 + \dfrac{1}{24} \phi^{(4)}_0 \left(x-x_0\right)^4 + \cdots \right) \right]dx \nonumber \\
&= \sqrt{\varepsilon} e^{- \phi_0 / \varepsilon} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\phi^{(2)}_0 u^2/2} \left[
f_0 + \left( \dfrac{1}{2} f^{(2)}_0 u^2 – \dfrac{1}{6}f^{(1)}_0 \phi^{(3)}_0 u^4
– \dfrac{1}{24} f_0 \phi^{(4)}_0 u^4 + \dfrac{1}{72} f_0 \phi^{(1)}_0{}^2 u^6 \right)\varepsilon + \cdots
\right]du \\
&= \sqrt{\varepsilon} e^{-\phi_0 / \varepsilon} \sqrt{\dfrac{2\pi}{\phi^{(2)}_0}}
\left[ f_0 + \left(
\dfrac{1}{2}\dfrac{f^{(2)}_0}{\phi^{(2)}_0} – \dfrac{1}{8}\dfrac{ f_0 \phi^{(4)}_0 }{ \phi^{(2)}_0{}^2 }
– \dfrac{1}{2}\dfrac{f^{(1)}_0 \phi^{(3)}_0}{\phi^{(2)}_0{}^2}+ \dfrac{5}{24} \dfrac{ f_0 \phi^{(3)}_0{}^2 }{ \phi^{(2)}_0{}^3 }
\right) \varepsilon + \mathcal{O}\left(\varepsilon^2 \right) \right]
\end{align}
と計算ができます．