概要
ここでは，物理現象のさまざまな箇所で現れる熱拡散方程式
\begin{align}
&\dfrac{\partial u}{\partial t}\left(t, x\right) = D \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}\left(t, x\right) + \phi \left(t, x\right), \tag{1} \\
&u\left(0, x\right) = u_0 \left(x\right) \tag{2}
\end{align}
の一般解を導出します．ここで，\(t\) は時間，\( x\) は位置，\(D\) は拡散係数を表しています．最終的に，一般解が
\begin{align}
&u\left(t,x\right)
= \int_{-\infty}^{\infty} u_0 \left(x’\right) G\left(t, x,x’\right) dx’
+ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{t} \phi\left(\tau, x’\right) G\left(t-\tau, x,x’\right) d\tau dx’ , \tag{3} \\
& G\left(t, x, y\right)
= \dfrac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-\frac{\left(x-y\right)^2}{4Dt}} \tag{4}
\end{align}
となることを示していきます．
導出
まず，\(u\left(t, x\right)\) と \(\phi\left(t, x\right) \) をフーリエ変換すると，
\begin{align}
&\tilde{u} \left(t, k\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u \left(t, x\right) dx, \tag{5} \\
&\tilde{\phi} \left(t, k\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi \left(t, x\right) dx \tag{6}
\end{align}
となります．これを (1) 式に代入すると，
\begin{align}
\dfrac{\partial\tilde{u}}{\partial t} = -k^2 D + \tilde{\phi} \tag{7}
\end{align}
となります．
(7) 式を定数変化法で解いていきます．この斉次方程式は \(\tilde{\phi}=0\) としたときに対応し，この場合の解は，\(\tilde{u} \left(t,k\right)=\tilde{u}\left(0,k\right) e^{-Dk^2 t}\) です．そこで，\(\tilde{u} \left(t,k\right) = \tilde{c}\left(t,k\right) e^{-Dk^2t}\) とおき，(1) 式に代入すると，
\begin{align} &\dfrac{\partial \tilde{c}}{\partial t} = \tilde{\phi} \left(t, k\right) e^{Dk^2t}, \\
& \Rightarrow \ \tilde{c} \left(t,k\right) – \tilde{c} \left(0,k\right) = \int_0^t \tilde{\phi} \left(\tau, k\right) e^{Dk^2\tau} d\tau, \\
& \Rightarrow \ \tilde{c} \left(t,k\right) = \tilde{u} \left(0, x\right) + \int_0^t \tilde{\phi} \left(\tau, k\right) e^{Dk^2\tau} d\tau,\\
& \Rightarrow \ \tilde{c} \left(t,k\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u_0\left(x\right) e^{-ikx} dx + \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^t \int_{-\infty}^{\infty} \phi\left(\tau, x\right) e^{Dk^2\tau} e^{-ikx} d\tau dx \tag{8}
\end{align}
に帰着します．これで \(\tilde{u} \left(t,k\right)\) が求まりました．
最後に，これをフーリエ逆変換をして元に戻すと，
\begin{align} u\left(t,x\right) &= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{u} \left(t, k\right) e^{ikx} dk, \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{c} \left(t, k\right) e^{-Dk^2t}e^{ikx} dk \\
&= \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dk e^{-Dk^2t}e^{ikx} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ u_0 \left(x’\right) e^{-ikx’} + \int_0^t \phi\left(\tau, x’\right) e^{Dk^2\tau} e^{-ikx’} d\tau \right] dx’ \\
&= \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dx’ dk \left[ u_0 \left(x’\right) e^{-Dtk^2+i\left(x-x’\right)k} + \int_0^t \phi\left(\tau,x’\right) e^{-D\left(t-\tau\right)k^2 + i\left(x-x’\right)k} d\tau \right] \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} u_0 \left(x’\right) G\left(t, x,x’\right) dx’ + \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{t} \phi\left(\tau, x’\right) G\left(t-\tau, x,x’\right) d\tau dx’ \tag{9}
\end{align}
で (3) 式と (4) 式が求まりました．
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